De sinusgolfformule

Figuur 7-23 toont een algemene weergave van een sinusgolf. De amplitude $A$ is de maximale spannings- of stroomwaarde tijdens een halve periode langs de verticale as. De hoekwaarden verlopen langs de horizontale as. De variabele $y$ stelt de momentele waarde van de spanning (of stroom) voor bij een gegeven hoek $\theta$ (theta). De momentele waarde kan weergegeven worden met volgende wiskundige formule:

$y=Asin\theta \left(7-15\right)$

Figuur 7-23 : Amplitude en fase van een algemene sinusgolf

De vergelijking 7-15 stelt ieder punt voor op de sinusgolf. Ieder punt wordt voorgesteld door zijn momentele waarde $y$ welke gelik is aan de amplitude $A$ vermenigvuldigt met de sinuswaarde van de hoek $\theta$ . De figuur 7-24 stelt een getallenvoorbeeld voor. Stel dat de amplitude gelijk aan $10 V$ en je wilt de spanning kennen bij een hoek van $60°$ . Deze spanning kan je dan als volgt vinden:

$y=10 V\mathrm{sin}\left(60°\right)=10 V \times \mathrm{0,866}=\mathrm{8,66} V$

Figuur 7-24 : voorbeeld van een momentele spanningswaarde bij $60°$

Afleiden van de sinusgolfformule

Als je vertrekt van het nulpunt op de horizontale as van figuur 7-24 zie je dat, naarmate je verder beweegt langs de horizontale as, de hoek verhoogt en de grootte van de momentele spanning varieert. Op een willekeurig moment kan de grootte van de sinusgolf bepaalt worden door de vermenigvuldiging van de amplitude met de sinuswaarde van de hoek. De momentele waarde van de sinusgolf kan geschreven worden aan de hand van de amplitude en de fasehoek dat deze amplitude maakt. Dit kan worden voorgesteld in een vectordiagram (fasor). De vector of fasor geeft de grootte en de richting (fasehoek) weer van een bepaalde momentele waarde. Een fasor wordt grafisch weergegeven als een pijl de draait rond een vast punt. De lengte van een sinusgolffasor is gelijk aan de amplitude van de desbetreffende sinusgolf. De hoekpositie van de fasor tijdens het draaien is gelijk aan de fasehoek. Een volledige cyclus van een sinusgolf kan worden gezien al de rotatie van $360°$ van de fasor.

De figuur 7-25 illustreert een vectordiagram dat linksom draait door middel van een omwenteling van $360°$ . Als het punt van de fasor wordt geprojecteerd op een grafiek met de fasehoeken, wordt langs de horizontale as een sinus uitgetekend zoals weergegeven in de figuur.

Figuur 7-25 : sinusgolf voorgesteld door een roterende fasor

Bij elke hoekstand van het vectordiagram is er een overeenkomstige magnitude waarde. Bij $90°$ en $270°$ is de amplitude van de sinus maximaal en gelijk aan de lengte van de fasor. Bij $0°$ en $180°$ is de sinuswaarde gelijk aan nul. Merk op dat de fasor dan horizontaal ligt en de sinuswaarde van $0°$ en $180°$ gelijk is aan $0$ .

Figuur 7-26 : Bepalen van de momentele spanning vanuit het principe van de rechthoekige driehoek

Bekijk bijvoorbeeld de fasorpositie bij $45°$ zoals in figuur 7-26 is weergegeven. De momentele waarde $u$ van de sinusgolf is zowel gerelateerd naar de hoek als naar de amplitude (lengte van de fasor) van de sinusgolf. De verticale afstand van het pijlpunt tot de horizontale as stelt de momentele waarde voor van de sinusgolf op dat punt ( $\theta =45°)$ . Merk op dat als de verticale lijn van het pijlpunt naar de horizontale as getrokken wordt er een rechthoekige driehoek ontstaat. De lengte van de fasor is de schuine zijde van deze driehoek en de momentele spanning de zijde tegenover de hoek of de overstaande zijde genoemd. De sinuswaarde bij een rechthoekige driehoek kan bepaalt worden als de verhouding van de overstaande zijde op de schuine zijde. In dit geval is dit de verhouding van de momentele spanningswaarde over de amplitude. Bijgevolg wordt verkregen:

$sin\theta =\frac{u}{ {U}_{\mathrm{m}}}$ :

$u={U}_{\mathrm{max}sin\theta } \left(7-16\right)$

V oor de stroom kan je dezelfde redenering maken. De momentele stroom is dan gelijk aan:

$\mathit{i}={\mathit{I}}_{\mathbf{max}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\theta }}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\left(7-17\right)$

Vergelijkingen voor in fase verschoven sinusgolven

Een sinusgolf die in fase naar rechts is verschoven ten opzichte van de referentiesinus ijlt na met een zekere hoek $\phi$ (phi). Dit is weergegeven in figuur 7-27. De referentiesinus is in het blauw weergegeven. De algemene uitdrukking voor een spanningsgolf die na-ijlt ten opzichte van de referentie is :

$u={U}_{\mathrm{max}}\mathrm{sin}\left(\theta -\phi \right) \left(7-18\right)$

Hierbij is $u$ de momentele spanning en ${U}_{max}$ amplitude van de sinusgolf. Voor de stroom kan je een analoge formule opstellen.

$\mathrm{i}={\mathrm{I}}_{\mathit{max }}sin\left(\theta -\phi \right)$

$u={U}_{\mathit{max}\mathit{sin}\left(\theta -\phi \right)}$	$u={U}_{\mathit{max}\mathit{sin}\left(\theta +\phi \right)}$

Figuur 7-27 : in fase verschoven sinusgolven

Wanneer een sinusgolf voor-ijlt met een bepaalde hoek $\phi$ ten opzichte van een referentiesinusgolf dan is de algemene uitdrukking voor een spanningsgolf :

$\mathrm{u}={\mathrm{U}}_{\mathit{max}}\mathit{ sin}\left(\theta +\phi \right) \left(7-19\right)$

Dit is weergegeven in figuur 7-27 (b). Voor de stroom verkrijg je:

$\mathrm{i}={\mathrm{I}}_{\mathrm{max}}\mathit{ sin}\left(\theta +\phi \right)$

Test jezelf : de sinusgolfformule

1. Bereken de sinus van volgende hoeken: 30°, 60° en 90°

2. Gegeven een sinusspanning met amplitude $10\mathit{ }\mathit{V}.$ Bepaal de momentele spanningswaarde bij een hoek van 120°

3. Bereken de momentele stroomwaarde op $45°\mathit{ }$ voor een sinusvormige wisselstroom met amplitude 200 mA en die $10°$ voorijlt op de nul-referentie. .